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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 3 - Límites y continuidad

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7. Calcular los siguientes límites:
f) lim⁡x→8x3−2x−8\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}

Respuesta

Acá nuevamente tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero", pero ojo acá, porque tenemos involucrada una raíz cúbica! Si multiplicamos y dividimos por el conjugado no se nos va a cancelar la raíz con el cuadrado y no vamos a poder encaminar el ejercicio. 

Eso hace que este problema sea bastante más difícil que los otros, y con L'Hopital saldría enseguida jaja pero te voy a mostrar cómo se me ocurre resolverlo sin usarlo. 

lim⁡x→8x3−2x−8\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}

Acá vamos a usar que:

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Si llamamos:
a=x3 a = \sqrt[3]{x}
b=2 b = 2 Entonces, podemos escribir el denominador como x−8=a3−b3 x - 8 = a^3 - b^3
Y el numerador es simplemente a−b a - b

Entonces nos quedaría:

  lim⁡x→8a−ba3−b3=  lim⁡x→8a−b(a−b)(a2+ab+b2)  \lim _{x \rightarrow 8} \frac{a - b}{a^3 - b^3} =   \lim _{x \rightarrow 8} \frac{a - b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} 

Simplificamos:

lim⁡x→81a2+ab+b2\lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{a^2 + ab + b^2} Reemplazamos aa y bb, y tomamos límite: lim⁡x→81(x3)2+x3⋅2+22= 112  \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 2 + 2^2} = \frac{1}{12}  

(Por favor no desesperen, este problema en particular fue bastante más difícil que los otros y no espero que haya resultado obvio enseguida el procedimiento 🥺 Si a alguien se le ocurre una manera más fácil de pensarlo, más que bienvenida la resolución en la ExaComunidad!)
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